Размышляю над одним вроде бы сравнительно несложным вопросом по гамильтоновым системам.
Вот, положим, у нас есть обычная плоскость $\mathbb R^2$ с координатами $(x,y)$, её кокасательное расслоение, изоморфное $\mathbb R^4$ с координатами $(p,q,x,y)$ и гамильтоново векторное поле на нём с гамильтонианом вида $H(p,q,x,y)=\frac{1}{2}(p^2+q^2)+V(x,y)$, то бишь просто сумма кинетической энергии, записанной через импульсы масса обезразмерена, на неё забиваем болт и произвольного гладкого потенциала.
Записав уравнения Гамильтона, получаем пик я просто не знаю, поддерживает ли местная разметка перенос строки для записи системы уравнений, если кто знает, подскажите. Собственно, вопрос - есть ли какие-то разумные способы отыскать первые интегралы у этой системы уравнений?
Буду заходить сюда время от времени и бампать своими идеями, немногочисленными и не очень плодотворными.
По совместительству - интегрируемых систем нить иди! А то чё тут у вас только первокурсники и школяры задачки обсуждают, уважаемая доска всё-таки хотя и почти мёртвая, пиздец просто, спрашивал в треде общих вопросов, так там вообще никого нет, а в "Математике для начинающих N+1" один анон мне что-то невнятное попытался донести, и то быстро утонула тема.
Зачем ты спойлеры ставишь, невозможно говно это читать.
Тебе уже ответили: открываешь учебник и ищешь достаточные/необходимые условия для этих своих интегралов. Применяешь к твоей системе. Я не поверю, что квантовый осциллятор с потенциалом никто не изучал, наоборот, он везде быть должен
>По совместительству - интегрируемых систем нить иди!
Слишком узкая тема, но ради бога
>поддерживает ли местная разметка перенос строки для записи системы уравнений, если кто знает, подскажите
Поддерживает, у неё полный amsmath подключен. И расстояния между строками можно менять.
$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x + y + z = 29, \\
y + 2z = 26, \\
2y + z = 25
\end{array}\right.$
L=-qx+py-p dW/dy + q dW/dx
L=-W + (p^2+q^2)/2
L=-x dW/dy - y dW/dx + (p^2+q^2)/2
или, в исходных терминах
L=-qx+py+p dV/dy - q dV/dx
L=V + (p^2+q^2)/2
L=x dV/dy + y dV/dx + (p^2+q^2)/2
Cори, неправильно решил, правильно будет
L=-qx+py+p dV/dy - q dV/dx
L=V + (p^2+q^2)/2
L=x dV/dy + y dV/dx + 2pq
бля, это не решения, забей, короче нужно решить
dL/dx = -q
dL/dy = p
dL/dp = dV/dy
dL/dq = -dV/dx
и
dL/dx = dV/dy
dL/dy = dV/dx
dL/dp = q
dL/dq = p
решения для второго это V(y,x)+pq для первого не знаю
Спасибо, анон!
>>93484
Так же можно про любой вопрос сказать, смысл вообще тогда создавать треды на доске? Вон в соседнем анон пытался разобраться, как работает синус и косинус для произвольного действительного угла, так его не закидали хуями, а нормально попытались что-то объяснить.
>>93499
>>93501
>>93502
Спасибо огромное, обязательно на досуге подумаю над этим.
Алсо, немного проще было бы воспринимать это в затеханном виде, доска ж поддерживает полный amsmath
Пожалуйста. Первое вообще решений не имеет потому что форма $-qdx + pdy + \frac{dV}{dy} dp - \frac{dV}{dx} dq$ не замкнута. Возможно система имеет только два интеграла.
Про два интеграла (которые в инволюции находятся) это действительно так и есть, потому что есть Теорема Лиувилля. Размерность симплектического многообразия $=4=2n\implies$ кол-во первых интегралов в инволюции $=n=2$.
Ну вроде так, если я правильно понимаю. Алсо, вообще всего различных функционально независимых первых интегралов здесь будет, конечно же, $2n-1=3$, это по общей теореме из диффуров, типа такой, как в этой статье из вики
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B2%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB
Ну вот я тоже подумал что должно быть 3 из общих соображений: пересечение ядер внешних производных первых интегралов должно быть интегральными кривыми соответствующего векторного поля, т.е. чем-то одномерным, ядро 1-формы это что-то трехмерное в четырехмерном, поэтому нужно 3 чего-то трехмерного чтобы в пересечении получилось одномерное. Поэтому странно что один из диффуров, решение которого должно быть первым интегралом. А что за инволюция на первых интегралах?
> Поэтому странно что один из диффуров, решение которого должно быть первым интегралом
Поэтому странно что один из диффуров, решение которого должно быть первым интегралом, не имеет решения.
самофикс
>>93538
Очень интересная идея доказательства того факта из общей теоремы о первых интегралах, раньше не видел, спасибо.
По поводу инволюции интегралов см. пик. Собственно, в этом и состоит интересное различие между просто системами диффуров (у обычной автономной системы ОДУ 4-го порядка локально существует 3 независимых первых интеграла) и гамильтоновыми системами - на первые интегралы у последней можно наложить более жёсткое условие про инволюцию, но зато это даёт много разных полезных свойств. Кстати, не совсем уверен, но вроде бы эти вышеупомянутые интегралы в инволюции существуют глобально, а не локально.
При этом, конечно, надо понимать, что общая теорема тоже, конечно же, работает, просто там интегралы похуже (зато их побольше).
ОП