В самом начале любого университетского курса по мат. анализу строятся множества Q и R, открой и посмотри
/thread
Не пизди. Там как раз без построения начинают. Смотри лекции матмеха и любые учебники.
Строится в теории множеств по аксиомам Цермело-Френкеля. Существование индуктивного множества постулируется аксиомой бесконечности, из неё выводится теорема индукции, с которой доказываются что множество натуральных чисел абелева полугруппа. Операция сложения и умножения определяются индуктивно.
Затем прямым произведением NxN строится множество целых чисел, индуцируемое классами эквивалентности. Множество N вложено в него изоморфно. Затем из ZxZ аналогично строятся рациональные. Ну а сами вещественные числа определяются как фундаментальные последовательности Коши, порождающие классы эквивалентности всех таких функций из N—>Q. Рациональные числа также вложены, как последовательность констант с сохранением структуры. Доказывается что R архимедово поле удовлетворяющее принципу верхней грани - и теперь элементы множества R рассматриваются как точки в топологии.
Из рациональных также приходят к действительным, строя дедекиндовы сечения, уже без классов эквивалентности. Также есть несколько других способов, но они менее распространены.
То есть когда мы доказываем что то по индукции, мы пользуемся этой теоремой?
Небольшое уточнение/дополнение. Определение индуктивного множества I звучит как
1. Пустое множество - элемент I
2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Иногда думают, что индуктивное множество - это то же самое, что множество N. Но на самом деле индуктивными множествами являются все предельные ординалы старше w0. В частности, w+w и w+w+w.
Поэтому аксиома индукции ещё не постулирует существование N. Она говорит, что существует хотя бы один бесконечный предельный ординал. А существование N таки нужно выводить.
Стоп, ты тот кто мне сегодня третью аксиому "вывел" в топологии? Ты еще и N выводишь?
>1. Пустое множество - элемент I
>2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Это есть определение N, довен. Вот определение ординала:
1. Пустое множество - элемент I
2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Let S be a set. If S satisfies the two properties,
1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.
>1. Пустое множество - элемент I
>2. Если i - элемент I, то i∪{i} - элемент I
Это есть определение N, довен. Вот определение ординала:
Let S be a set. If S satisfies the two properties,
1) S a transitive set,
2) S is strictly ∈-well-ordered
then S is called an ordinal number.
>Это есть определение N, довен.
Нет. N определяется как класс, являющийся пересечением всех множеств со свойствами 1 и 2. Этот класс является множеством, так как существует класс, элементом которого он является, - класс Ord.
Легко проверить, что свойствами 1 и 2 обладает w0+w0. Очевидно, не являющееся множеством N.
Ты слепой? Это поредение ординала. Читай второй пост. Легко проверить... вот долбоеб. Это доказательства на страниц 10. Хотя может у тебя есть с кванторами своё.