>>501739 (OP)
Оп хуй

Сижу с тобой на одной лекции, вверх посмотри. Дёмин норм объясняет, просто перечитывай лекции дома. Могу покинуть годноты

Кафедра «Математическое моделирование» МГТУ им. Н.Э. Баумана

http://mathmod.bmstu.ru/index.php?p=2&page=9

>>501740
> покинуть
подкинуть*

Добавься 110404035

>>501739 (OP)
Кароче смотри нахуй.
Бинарная операция на множестве - это когда каждой паре (a,b) ставится в соответствие какой-то элемент c из этого же множества.
Например: сложение на N - это бинарная операция.
4+3 = 7; То есть +(4,3) -> 7; +(0,10) -> 10...
Но, к примеру, операция вычитания уже не явл. бинарной на N, т.к. для -(4,5) в N не найдется числа, которое можно было бы поставить в соответствие паре (4,5).
Подводные. Операции сложения и вычитания выше определили естественно, но можно так же взять за операцию a+b = ab/b+a, к примеру.

Теперь, пусть есть множество G, на нем заданны:
бинарная операция: f,g -> fg(обычно операцию на группе называют умножением; очень часто, если группа коммутативна, её называют сложением, но мне это никогда не нравилось).
взятие обратного: f -> f^(-1)
задан единичный элемент: 1(обычно обозначают e)
И все это удовл. аксиомам:
1) ff^(-1) = f^(-1)f = 1
2) 1f = f1 = f
3) ассоциативность a(bc) = (ab)c

Здесь есть важный момент, который скрывают жидорептилойды. Из того, что на G заданна бинарная операция следует, что G - замкнуто отн. этой операции. То есть для любых f и g: fg и gf определенно(иногда это просто записывают как 4-ую аксиому).

Всё нахуй, теперь будет интересней

Если есть множество A, то через S(A) можно обозначить множество перестановок элементов A. На них можно задать операцию композиции: gf(a) = g(f(a)). То есть к примеру f(a) = b и g(b) = c, то:
gf(a) = g(f(a)) = g(b) = c. Получается какая-то подстановка h(a) = c. Тогда операция композиции - бинарная операция. Не буду всё писать(обр, тождественные перестановки), очевидно, что композиция перестановок превращает S(A) в группу.

Пусть есть две группы: G, H и заданно отображение
f: G - > H, для которого верно:
f(ab) = f(a)f(b); Тогда f - гомоморфизм. Если гомоморфизм инъективен, то он называется мономорфизмом, если суръективен, то он называется эпиморфизмом, если он биективен - изоморфизмом. Если между G и H существует изоморфизм, то G и H называются изоморфными.

Пусть G - группа. Рассмотрим gG, то оказывается, что g как бы переставляет каждый элемент группы в какой-то другой(ga=b, a перешло в b). Тогда G допускает мономорфизм в группу S(G); Доказать нужно, что он инъективен. Если ga = ha, то g=h(для каждого a, оф корс), то он инъективен. То есть G можно представить как группу перестановок.

Пусть G - конечная группа. То, очевидно, g^n - периодическая последовательность. Порядок g - это такое наименьшее натуральное число n, что g^n = 1; Домножим g на что-нибудь.
ga = b; домножим g на b
gb = c; т.к. b = ga, то gga = c; Если продолжить это действие(умножение g на произведение) то на каком-то моменте получится g^na; т.к. g^n = 1, то g^na = a; То есть получится циклическая перестановка
(abc...h) - кол-во букв в ней = n. Перемножим g на какой-то другой элемент, не входящий в эту перестановку, получим ещё такую же цикл. перестановку. Выйдет несколько цикл. перестановок, в каждой из которых = n элементов и все они содержат все элементы из G; От сюда Порядок(G) = nm; n - порядок g, а m - какое-то натуральное число.
То есть порядок элемента делит порядок группы.

Но вообще способ выше - я нигде не находил в учебниках. Везде дается Теорема Лагранжа

Пусть H - подмножество G и H - замкнутно отн. операции из G и имеет обратные элементы к каждому элементу. То H - подгруппа G.
Множество xH - называется левый смежный класс G по H. Рассмотрим множество смежных классов:
1)Пусть y лежит в xH, то yH = xH:
Proof: xh = y; пусть в xH есть элемент j = xh_1; тогда он есть и в yH, потому что xh(h^(-1)h_1) = xh_1; Тогда любоой(каждый) элемент из xH лежит в yH => xH = yH;
2)Пусть xH и yH имеют общий элемент, то они совпадают.
Proof: общий элемент = b, то bH = yH и bH = xH => xH = yH
Получается множество классов, каждый из которых содержит элементов столько же, сколько и H, и они не пересекаются. Тогда: Порядок(H)*m = Порядок(G)
То есть порядок подгруппы явл. делителем порядка группы. Если g^n = 1, то можно взять подгруппу состоящую из g^k, где k пробегает от 0 до (n-1); От сюда выходит, что порядок элемента делит порядок группы.

Изоморфизм группы на себя: G->G называется автоморфизмом. Автоморфизм заданный формулой gag^(-1) называется внутренним автоморфизмом. Если H - подгруппа G и при всех внутренних автоморфизмах H переходит в себя, то H - нормальная группа.
1) xH = Hx, если H - нормальная
Proof: Пусть в xH лежит j, то нужно доказать, что он лежит и в Hx: xh = j; Тогда kx = j => k = jx^-1 = > k = xjx^-1 - этот элемент лежит в H, т.к. она нормальная, то xH = yH.
На множестве смежных классов по норм. подгруппе можно задать операцию: xHyH = (xy)H; Это будет группой. Единица = eH, а обратный x^(-1)H; Это группа называется факторгруппой G по H.

Пусть G, H - группы. Рассмотрим гомоморфизм G - > H; Множестве всех g, для которых f(g) = e - ядро гомоморфизма. Ядро - подгруппа, при том нормальная
Proof:
Замкнутость
a,b лежат в Ядре. f(ab) = f(a)f(b) = ee = e
Обратный
a^-1 лежит в ядре. f(aa^(-1)) = f(a)f(a^-1) = e = > f(a^-1) = e
Ядро - нормальная группа:
f(gag^-1) = e

Построим факторгруппу по Ядру. Тогда в одном смежном классе лежат те элементы, которые при гомоморфизме переходят в один и тот же элемент:
a,b лежат в xЯдро, то есть a = xЯдро_1, b = xЯдро_2; f(a) = f(x) = f(b) [Ядро_1 и Ядро_2 уходят в единицу]
Фактогруппа по ядру - изоморфна образу G, это очевидно(у каждого h из образа существует при том единственный прообраз в виде смежного класса)

Хуй знает, что тебе ещё рассказать.

>>501896
Забыл добавить. ОП, навряд ли ты успеешь за неделю, но можешь всё это прочесть в книге "Теорема Абеля в задачах и решениях" Алексеева(она бесплатная лежит в библиотеке mccme.ru) 1ая глава посвящена группам. Она легкая, для школьников класса так 8-ого. Думаю сам там разберешься, какие параграфы читать и какие задачи делать.

>>501901
Ого, спасибо

Какой это курс?

>>501960
Pervyi