Пацаны, поясните школоте по хардкору за тензоры. Помню нам физичка мозги ебла раком лебедем и щукой, ну там равноденствующая сила и тд. Но это же наебалово, это же в 2D. Вот допустим если рассмотреть эту троицу, тянущую в трехмерном вакууме (для невесомости, чтобы пренебречь mg).Тут погуглил я немного - с тензорами в мат. смысле все очень заморочено. Но вот есть такая простая геометрическая интертрипация - тензоры 2-го ранга. И чета мне кажется что этот воз это как раз оно и есть. Представьте такой игральный кубик, и к трем плоскостям этого кубика приделаны рычаги. У каждого рычага-вектора две степени свободы. Троица тянет в 3D. Тензор или нет?Если да, что же это получается, это "вектор векторов"???
>тензоры 2-го рангаИспользуй термины матрица, вектор и не забивай голову ерундой всякой, школьник.
>>346961 (OP)>Представьте такой игральный кубик, и к трем плоскостям этого кубика приделаны рычаги. У каждого рычага-вектора две степени свободы. Троица тянет в 3D.Имеешь в виду, пикрелейтед?https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BD%D0%B7%D0%BE%D1%80>Если да, что же это получается, это "вектор векторов"???Википедия - бурчит непонятное:это - объект линейной алгебры, линейно преобразующий элементы одного линейного пространства в элементы другого. И, поскольку, частными случаями тензоров являются скаляры, векторы, билинейные формы и т. п. - нельзя сказать, что это "вектор векторов".Короче, тензор - это сложный объект, описываемый многомерной матрицей, значения в которой - его компоненты.При этом, значения чисел в массиве (матрице), или компоненты тензора, зависят от системы координат, но при этом сам тензор как геометрическая сущность от них не зависит.
>>346961 (OP)>>347338Пусть есть два векторных пространства, обозначим их буквами Э и Фэ, или по-русски E и F. Выберем в первом пространстве базис e1, ... , en. Выберем во втором пространстве базис f1, ... , fm. Построим "матрицу" из упорядоченных пар базисных векторов. e1f1 e1f2 ... e1fm e2f1 e2f2 ... e2fm ...enf1 enf2 ... enfm В этой матрице mn штук пар. Оказывается, на эти пары, как на базис, тоже можно натянуть векторное пространство, mn-мерное. Это пространство называется "тензорное произведение пространств E и F" и обозначается E⊗F.Можно подумать, что E⊗F похоже на декартово произведение E и F. Можно даже предположить, что векторами из E⊗F являются пары векторов вида (e,f) - первый вектор пары взят из E, второй взят из F. Это верно лишь отчасти. На самом деле векторами E⊗F являются не только эти пары, но и всевозможные конечные суммы, слагаемые в которых являются парами вида (e,f). Это для двух пространств. По индукции, можно сделать так же для любого конечного количества пространств. Пусть теперь у нас есть векторное пространство V над полем K. Рассмотрим сопряжённое ему пространство V' - то есть пространство всех линейных функций из V в K. Рассмотрим тензорное произведение p экземпляров пространства V на q экземпляров пространства V'. Получим векторное пространство. Его векторы и называются "тензоры типа (p;q) над V". То есть ещё раз. Совсем наглядно. Пусть p и q - два натуральных числа.Будем строить тензоры вида (p;q).Берём p векторов из V: v1, v2, ... , vp. Берём q функций из V в K: f1, f2, ... , fq.Строим из них упорядоченную энку: (v1, v2, ... , vp, f1, f2, ... , fq).Такие энки называются "разложимые тензоры".Теперь берём всевозможные конечные суммы разложимых тензоров. Сумму двух, трёх, ... 100500, ... разложимых тензоров. Такие суммы называются "неразложимые тензоры". Подчеркну, что все слагаемые имеют тип (p;q).Всякий тензор вида (p;q) - либо разложимый, либо неразложимый.
>>347349>Построим "матрицу" из упорядоченных пар базисных векторов. Хоть это ещё и не тензор, но можно ли назвать эту матрицу "вектором векторов" (базисных)?>Оказывается, на эти пары, как на базис, тоже можно натянуть векторное пространство, mn-мерное.Значит ли это, что векторные пространства E и F - n-мерное и m-мерное, соответственно?>На самом деле векторами E⊗F являются не только эти пары, но и всевозможные конечные суммы, слагаемые в которых являются парами вида (e,f). Это как? (e1+e2, f1+f3) = (e3,f4) - так?(e1,f1) + (e2,f3)= (e3,f4) - или так?Это векторы?>экземпляров пространстваА это что?>Рассмотрим тензорное произведение>Получим векторное пространство.>пространство V' всех линейных функций>сопряжённое векторному пространству VЯвляется ли V' векторным пространством?Ну и главный вопрос:>Где эти тензоры вообще котируются, шо так многобукаф?
>>347352>можно ли назвать эту матрицу "вектором векторов"Лучше туплем, или, по-русски, энкой. >Это как? Это (v1, w1) + (v2, w2) например. Результат сложения уже не будет представляться в виде пары.>А это что?Фигура речи. Когда есть V⊗V⊗V⊗V, проще сказать, что тут тензорно перемножены четыре экземпляра пространства V.>Является ли V' векторным пространством?Да. Сопряжённое пространство - гуглящийся термин. >Где эти тензоры вообще котируютсяНапример, в механике, и классической и релятивистской.
>>347355>Лучше туплем, или, по-русски, энкой.Нагуглил, кортеж (информатика).>Это (v1, w1) + (v2, w2) например.Что, насчёт этого: (e1,f1) + (e2,f3)= (e3,f4) ?>Результат сложения уже не будет представляться в виде пары.Т. е. (v1, w1) + (v2, w2) ≠ (v3, w3) ?>Фигура речи.Ок.>Например, в механике, и классической и релятивистской.Интересны обе. Потом и, квантовая.Что надо, чтоб войти туда?Знаю кинематику, законы Ньютона, принцип относительности Галлилея, есть представления о ИСО, ОТО, СТО. Смутно помню производные, интегралы и свойства матриц (дело поправимое).
>>347355>Например, в механике, и классической и релятивистской.Есть норм учебник, или лучше - решебник?По теормеху - слышал о двухтомнике Альберта Мессиа, а ещё, что кроме осциляторов, формализмов Лагранжа, Гамильтона, Гейзенберга и Шрёдингера и уравнений Максвелла - нужна линейная алгебра и всякий такой хитро-мудро-выпиханный матан с интегральчиками, под картофан.Начать бы с теормеха, далее обмазаться теорией поля, потом квантовой механикой, а потом навернуть квантовой электродинамики.И задач перелопатить надо уйму, чтоб лишь приблизиться и узреть хоть кусочек квантовой теории поля с этими всякими разноцветными бозонами, гиперповерхностями, вертящимися спинорами и красиво заворачивающимися твисторами.
>>347362>кортеж (информатика)Да, но так говорят только информатики. В этой стране принят термин n-ка, энка. >Т. е.Когда рассматриваем сумму v1⊗w1 + v2⊗w2, лишь иногда, очень редко, существуют такие v3 и w3, что v1⊗w1 + v2⊗w2 = v3⊗w3. Обычно же эта сумма равна просто какому-то вектору из тензорного произведения.>Что надо, чтоб войти туда?Есть механика, как её видят физики. Это курсы общей физики Иродова, Савельева, Сивухина. Есть механика, как её видят математики. Это книга Арнольда "Математические методы классической механики". >квантоваяЧтобы разобраться в математическом аппарате квантовой механики, не обязательно изучать обычную механику, достаточно прочитать книгу "Линейная алгебра и геометрия", написали Кострикин и Манин. Собственно квантовая механика там сформулирована в последней главе.
>>347349Подождите, поцоны, я другой анон, я ОП, я понял, что через в.п. это обобщенный алгеабраический подход, но давайте сперва от простого к сложному. Я как раз нагуглил dyadic product - для 3-мерного пространства берем два вектора и получаем матрицу 3x3 из 9 чисел. И как я понимаю у этой матрицы есть конкретный геометрический смысл - каждый ряд представляет собой вектор на одной из трех плоскостей "воза" или "кубика", то что на картинке у анона. Я просто хотел еще представить "механическую" интерпретацию: если за каждый из трех векторов потянуть, то весь наш кубик будет куда-то двигаться, и направление этого движения - один единственный вектор, то есть мы какбе из трех векторов получили один, отсюда я подумал про "вектор векторов". Хотя я понимаю, что в общем случае цензор геометрического представления может не иметь.У меня еще по векторному пространству вопросы есть, но над подумать чуток
>>347366>Кострикин и МанинА они здесь постят на дваче?
>>347427>если за каждый из трех векторов потянуть, то весь наш кубик будет куда-то двигаться, и направление этого движения - один единственный вектор, то есть мы какбе из трех векторов получили один, отсюда я подумал про "вектор векторов".Ты "тянешь" конкретную компоненту или весь "кубик"?>мы какбе из трех векторов получили одинНе, от движения кубика, сам кубик и его векторы, не меняются же.Это же самое, что сказать - из Луны мы получили её орбиту.>общем случае>какбе>конкретный>цензор
>>347449Весь кубик движется >Не, от движения кубика, сам кубик и его векторы, не меняются жеНе понял про что ты. На кубик давят (или тянут, не важно) три вектора - каждый под каким то своим углом. Да, они не меняются. Но при этом под давлением этих трех векторов с трех сторон, весь кубик движется в определенном направлении. Что есть вектор. Вот я про что.
>>346961 (OP)тензор это преобразование между а и б записанный в виде матрицы. вроде бы. например в одной системе у нас отсчет от верха в другой от низа тензором будет -y вроде. например множество а и множество бэ. там тензором будет разность одного и другого. тоестьь тензор это такая херня которая переводит одно в другое. например для вольт = 0.001 киловольт тензором будет +0.001но это я так понимаю. возможно я напридумывал.
Кубики, блядь. Про что несете. Мое мнение - если формальное определение тензора не зашло, надо самому щупать. Родина дала R, допустим. Там есть пакет tensorA https://cran.r-project.org/web/packages/tensorA/index.html Первый жи пример и сразу наглядно видно что и как с этими вашими тензорами:> A <- to.tensor( 1:20, c(a=2,b=2,c=5) )> A, , 1 ba [,1] [,2] [1,] 1 3 [2,] 2 4, , 2 ba [,1] [,2] [1,] 5 7 [2,] 6 8, , 3 ba [,1] [,2] [1,] 9 11 [2,] 10 12, , 4 ba [,1] [,2] [1,] 13 15 [2,] 14 16, , 5 ba [,1] [,2] [1,] 17 19 [2,] 18 20attr(,"class")[1] "tensor"> ftable(A) c c1 c2 c3 c4 c5a b a1 b1 1 5 9 13 17 b2 3 7 11 15 19a2 b1 2 6 10 14 18 b2 4 8 12 16 20> B <- to.tensor( c(0,1,1,0) , c(a=2,"a’"=2))> A %e% B, , 1 cb [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 2 6 10 14 18 [2,] 4 8 12 16 20, , 2 cb [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 1 5 9 13 17 [2,] 3 7 11 15 19attr(,"class")[1] "tensor"> drag.tensor( A , B, c("a","b")), , 1 ^ac [,1] [,2] [1,] 4 3 [2,] 8 7 [3,] 12 11 [4,] 16 15 [5,] 20 19, , 2 ^ac [,1] [,2] [1,] 2 1 [2,] 6 5 [3,] 10 9 [4,] 14 13 [5,] 18 17attr(,"class")[1] "tensor"> A %e% one.tensor(c(c=5))/5 # a mean of matrices ba [,1] [,2] [1,] 9 11 [2,] 10 12attr(,"class")[1] "tensor" "matrix"> reorder.tensor(A,c("c","b","a")), , 1 bc [,1] [,2] [1,] 1 3 [2,] 5 7 [3,] 9 11 [4,] 13 15 [5,] 17 19, , 2 bc [,1] [,2] [1,] 2 4 [2,] 6 8 [3,] 10 12 [4,] 14 16 [5,] 18 20attr(,"class")[1] "tensor"> A - reorder.tensor(A,c("c","b","a")) # =0 since sequence is irrelevant, , 1 ba [,1] [,2] [1,] 0 0 [2,] 0 0, , 2 ba [,1] [,2] [1,] 0 0 [2,] 0 0, , 3 ba [,1] [,2] [1,] 0 0 [2,] 0 0, , 4 ba [,1] [,2] [1,] 0 0 [2,] 0 0, , 5 ba [,1] [,2] [1,] 0 0 [2,] 0 0attr(,"class")[1] "tensor"> inv.tensor(A,"a",by="c"), , 1 ba [,1] [,2] [1,] -2.0 1.0 [2,] 1.5 -0.5, , 2 ba [,1] [,2] [1,] -4.0 3.0 [2,] 3.5 -2.5, , 3 ba [,1] [,2] [1,] -6.0 5.0 [2,] 5.5 -4.5, , 4 ba [,1] [,2] [1,] -8.0 7.0 [2,] 7.5 -6.5, , 5 ba [,1] [,2] [1,] -10.0 9.0 [2,] 9.5 -8.5attr(,"class")[1] "tensor"
>>346961 (OP)>Если да, что же это получается, это "вектор векторов"???Грубо говоря. Тензор второго ранга по сути представляет матрицу, третьего ранга - кубик 3х3х3, и так далее. Просто форма записи, ничего сложного или интересного.
>>347461Что за чепуха? Нет, конечно.
>>347460Что не так с кубиками. Геометрическое представление. >формальное определение тензора не зашлоПочему не зашло. Все достаточно понятно. Ну в общих деталях, я вобчето школьник а не аспирант. Например, в случае 3-мерного эвклидового пространства берем два базиса ijk из каждого, делаем над ними диадное умножение и получаем 3x3 матрицу из пар. Эта матрица и есть новый базис получившегося тензорного пространства. Потом по этому базису наполняем наше в.п. как бассейн водой - по приниципу линейной независимости строим до ебени страсти "векторов", каждый из которых является тензором 2-ранга (потому что совмещаем два в.п.) и 3-его порядка (потому что N=3). то ест матрицей 3^2 = 9 элементов.Точно так же по аналогии для нескольких пространств, только например для трех пространств это будет не диада, а например "триада", короче трехмерный массив упорядоченых троек и тд. Для трехмерного пространства их будет 3^3 = 27. И геометрически его не представить.> На самом деле векторами E⊗F являются не только эти пары, но и всевозможные конечные суммы, слагаемые в которых являются парами вида (e,f). вот только тут мутновато. Но можно просто представить что "каким-то образом" по базису строится все векторное пространство тензоров. Видимо что-то с его ортогональностью и построением минимального spanning сета. Ну короче тут я плывуМой пойнт был в том, что я понял общее алгеабраическое определение, но я хочу для ОДНОГО такого конкретного тензора из нашего тензорного в.п. нарисовать геометрическую аналогию на "кубике", ибо размерность позволяет. Вот это для меня и есть "пощупать" почти как тянку даже лучше. Как я понимаю так и делается при изучении физических тензоров (например жесткости или упругости или как его там). Что не так в моих рассуждениях?
>>347461>кубик О, а тут уже кубик совсем другой смысл имеет! Это "кубик из тензоров", совсем не тот кубик что выше. Короче я понял, попытка визуализировать кажется заманчивой, но это только запутать может так как всякие двусмысленности возникают. Я включил overthinking mode и не могу отключить как обычно
>>346961 (OP)Берешь категорию, где объекты — модули с билинейными отображениями, стрелки — коммутативный треугольник. Тензорное произведение — начальный объект в этой категории. Отсюда строишь явно в виде фактора свободного модуля по порождающим, на которых "билинейность зануляется". Все, вот тебе и тензор.
>>347501Тензоры получаются только когда пространство перемножается на своё сопряжённое. А элементы тензорного произведения не связанных друг с другом пространств не называются тензорами.
>>347585Опять же абсолютно бесполезно.
Тензор удобнее определять, как элемент тензорного произведения векторных пространств A1, A2, An. Пачка векторных пространств вместе со стрелкой в тензорное произведение B будет универсальным объектом. Стрелка из тензорного произведения B n экземпляров векторных пространств A в векторное пространство C единственным образом пропускается через универсальную стрелку, так что диаграмма на пикрелейтед коммутативна, а тензорное произведение определяется с точностью до изоморфизма пачкой перемножаемых пространств А на входе.
«Тензоры» — это идея, производная от идеи «полилинейности». Чтобы осознать первое нужно осознать второе.
>>347686Ну я уже понял, куда влез - вон там выше аноны глумятся ))) Нечаянно наступил в бездонную яму мат. абстракций. Что похоже мало общего имеет например с "тензором упругости", что есть просто матрица и больше никаких глубоких идей и на уровне кубиков можно понять. А мат. абстракция из линала/функана вон еще теорию категорий приплели шутники, как я понял - это аппарат для бескоординатной записи всяких физических сил в хитровыебанных системах координат.
>>347900>тензорное произведение>категории>шутникиТебе, мань, дорога на завод.
>>347969Мне вот тут интересна такая тема - есть какие-нибудь примеры как эффективно использовать эти тензоры в вычислениях на конкретных примерах при этом не опускаясь из уровня абстракций, т.е. не переводя все в координатное представление?
>>347969Как-будто что-то плохое. Больше денего платят чем специалистам по функционалам, и можно лифтерш пьяных ебать.
>>348124Расчёт механического напряжения, анон, пьезоэлектрический эффект. мимоэлектроник кун
>>347642Пиздишь, уважаемый. Тензор второго ранга может быть дважды ковариантным или дважды контравариантым.
>>350824Ура. Наконец то мой топик подняли. Я тут справки кое какие навел, два контра это (2,0) а дважды ко это (0,2)? То есть в принципе не обязательно ему быть 1,1 лишь бы сумма была 2 и это будет тензор второго ранга? В одной книжке написано что только 1.1 таковым считается
>>350656Ты это просто пример использование тензоров даешь или отвечаешь на вопрос анона о примере безкоординатной записи?
>>350825Выкинь, эту книжку нахуй.С точки зрения пользы для сельского хозяйства тензоры нужны, чтобы1) Мы сидим в самосопряжённых пространствах и не выёбываемся. То есть нам похуй на верхние-нижние индексы и прочее. Тогда тензорный аппарат нам очень помогает, когда мы работаем со всякими векторными полями, дивергенция, градиенты вся эта хуйня. Особенно, чтобы не рисовать уебанские точечки и помнить на что действует набла. Ну и всякое мультипольное разложение. Например, есть функция f(v) от вектора и мы её хотим разложить в ряд:f(v_i) = F + A_i v_i + B_ij v_i v_j + C_ijk v_i v_j v_k ...F — скаляр, A_i — вектор, B_ij — матрица, а уже третий член C_ijk кроме как тензором не представишь.2) Мы сидим в хуй знает каких геометрических пространствах. Например на произведении тора на сферу в квадрате. Хотим взять в этом пространстве за щеку градиент какого-нибудь векторного поля. Без тензоров нихуя не сможем. В итоге через тензоры раскрывается всякая топология, аффинная связность, вот это всё.Практическая сторона вопроса: расчёт всего и вся в сложной геометрии. Даже если мы сидим в обычном Евклидовом (или Минковском) пространстве, нам всё равно бывает полезно писать все соотношения и законы в тензорах, потому что тогда они останутся верны при переходе к криволинейным координатам и проч.
>>350838>2) полезно писать все соотношения и законы в тензорахА физики не используют координатную запись? В евклидовом пространстве?
с точки зрения нормальных людей тензоры это объекты преобразующиеся по определенному закону при преобразованиях координатпосему кукарекать про абстрактные тензоры или вектора не имеет смысла без указания этих преобразованийпосмотри ландау лифшиц 2 том например
>>351128>объекты преобразующиеся по определенному закону при преобразованиях координатЧто означают эти слова?
>>351134Пока ученые не вкатились, как я понимаю допустим есть какая-нибудь сила f в каком-нибудь хитром криволенейном пространстве и это f на самом деле такая буковка с крышей - тензор, то есть матрица в которой "закодированы" координаты в этом пространстве. И при переходе в другую координатную систему коэффициенты этой матрицы пересчитываются, при этом все их хитрые уравнения остаются без изменения, так как все буковки сил в формулах - это на самом деле тензоры в которых сидят координаты.
>>351128>>351140Инвариантность соотношений в тензорах относительно выбора системы координат, правильно понял? А можно ли представить тензор подобно вектору, геометрически - независимо от СК? Или это тот пик с кубиком?
>>351190надо минимум 2 СК иметь чтобы тензор определить, независимо это как вектор же не палочка со стрелочкой а тензор первого порядка
>>351350А если одна СК и она не меняется, а крутится сам вектор? Допустим есть тензор-матрица которая преобразует один вектор в другой, в той же СК. Не в этом ли смысл разных физических тензоров типа тензора инерции? Не получается ли что мы смешиваем разные виды преобразований - переход из одной СК в другую и смену базиса в той же СК?
>>351350>этот пикПиздец. Ехал индекс через индекс. И эти люди катят бочку на няшное бескоординатное определение.
>>351368Но ваши безиндексные вещества нихуя понять невозможно. Надо же с простого начинать. Хрен с ними с матрицами, простой пример из школьной программы с векторами. Есть работа W = скалярное произведение F и s. Согласно непроверенных источников F - это тоже тензор (1-го порядка), т.е линейный оператор (функционал) который принимает вектор (s) и на выходе выдает скаляр - работу. Но с другой стороны, сама операция скалярного произведения - это же тоже оператор, только билинейный, который берет два вектора F s и выплевывает скаляр. И что, в этом случае это уже тензор второго порядка, типа (2,0)? Как можно про одну и ту же операцию F*s думать и как тензор первого и второго порядка?? Кто тут над кем оперирует, точка над F и s или F над s при помощи точки?
>>351190Можно.
>>351368Я один не понимаю принципиальной разницы между двумя записями? Индексы = базис. Если в индексах писать произвольные вектора вообще никакой разницы не будет. Просто у тензорного многочлена одночлены записаны в виде индексов, коэффициенты оставлены, знак Σ не пишется.
>>351370> Кто тут над кем оперирует, точка над F и s или F над s при помощи точки? Как тебе больше нравится, так и представляй. Только скалярное произведение берёт не два вектора, а вектор и ковектор. Просто обычное Евклидово пространство с декартовыми координатами самосопряжено и в нём вектор равен своему ковектору.Если ты хочешь умножить вектор на вектор, то один из них ты должен преобразовать в ковектор (опустив индекс) при помощи домножения на тензор метрикиF_i s^i = g_ij F^j s^iТо есть да, операция произведения двух векторов эквивалентна тензору (2,0)
>>351370А вот это вообще проблема всей алгебры (или скорее, всей математики!), тензоры тут ни при чём. — это что, функция от 2 аргументов ab или функция от 1 аргумента a* в функции от 1 аргумента? C^(B×A)=(C^B)^A, ^ — пространство отображений.
>>351373Идея в том, что для того чтобы определить прямую или плоскость не обязательно вводить координатное пространство и записывать уравнения. Так и здесь, можно работать с тензорами как с «совокупностью чисел, преобразующимися определённым образом при преобразованиях координат», а можно рассматривать их как геометрические объекты, не опускаясь до базисов и индексов.
>>351375>скалярное произведение берёт не два вектора, а вектор и ковекторА почему это не могут быть два отдельных, несопряженных пространства. Например F и s в случае той же работы. Они же в разных единицах. Почему мы не можем думать про них как про набор векторов из двух разных пространств?
>>351378Потому что как только ты задал на этих пространствах линейное скалярное произведение, поздравляю! ты их сопряг.
>>351377>Идея в том, что для того чтобы определить прямую или плоскость не обязательно вводить координатное пространство и записывать уравнения.Фактически, всё делают через «координаты». Все эти разговоры про «инвариантность» самими же математиками («абстрактными»!) игнорируются, и правильно делаются.>Так и здесь, можно работать с тензорами как с «совокупностью чисел, преобразующимися определённым образом при преобразованиях координат», а можно рассматривать их как геометрические объекты, не опускаясь до базисов и индексов.Как ни определяй — всё равно не понятно. Нормального определения тензоров я ещё не видел, ни в какой идеологии.
>>351380> Фактически, всё делают через «координаты».Да, делается. Но это не от хорошей жизни, а от скудности воображения и языка. При этом постоянно подчёркивается разница между объектом и его представлением. Объект один, а представлений у него может быть сколько угодно.
>>351380К первой части: что такое «инвариантное» опеределение я так и не понял. В простых случаях это ясно, но в случае тензоров инвариантное опеределение(=(практически)конструкция! А ведь так не должно быть.) по меньшей мере странное.
>>351381Я не об этом. Во многих случаях «координаты» серьёзно используются, я имею в виду не вычисления. Фактически «координаты» — это примешивание бесструктурного множества в разговор. R^I, где I — множество координат. Или многочлены, от множества переменных, которые как бы тоже координаты.
Ещё один тезис: инвариантность фактически означает «геометричность». Каждый раз ссылка на инвариантность — это ссылка к какому-то геометрическому образу. Алгебра фундаментально неинвариантна, так как речь в ней идёт о многочисленных представлениях одного и того же объекта, вроде 2×2=4, a×b=c.
>>351379Тут что-то я с семантикой поплыл. Что значит я их "сопряг"? Я сопряг F и s? Как я понял для любого V автоматически существует сопряженное ему V то есть мы же не создаем сущность V через какое-то действие именуемое "сопряжением". И в V у нас лежат не просто вектора, а "линейные функционалы", которые из векторов в V делают скаляры например в R. И какой у нас аналог для F и s? Для них тогда будет еще два сопряженных им пр-ва F и s*?
>>351386звездочки после V сожрались
>>351380>Нормального определения тензоров я ещё не видел, ни в какой идеологии.Лол, я кстати ненашутку заморочился этими тензорами, потому что они сука ускользают от сознания и меня это бесит но не дает остановиться. В нескольких книгах подход абсолютно разный, так что я вряд ли приблизился к пониманию, зато заинтересовался мат аппаратом и смежными областями так сказать.
>>351376Тупая макаба не может нормально воспринимать звёздочки. Хотя, знак × мне всё равно нравится больше. Симметричен + и отдаёт арифметической началкой.
>>351391В данном случае звездочка означает сопряженное пространство так что неясно чем ее заменять. Разве что попробовать ставить три звездочкиТест F s
>>351392Для сопряжения есть ещё знак галочки наверху Lv.
>>351386Смотри, собачкаанон, какая хуйня.У нас есть линейное пространство V, элементы v которого мы по традиции называем векторами.Потом мы заморочились и нашли пространство U такое, что для всех элементов смогли задать (u,v) = скаляр (+всякие свойства линейности). Тогда мы говорим, что U=V* и это сопряжённое пространство, и элементы пространства u называем по традиции ковекторами.Можно посмотреть на это по-другому: рассмотреть объекты f=(u,·). Тогда объект f, действуя на вектор v, даёт скаляр. Т.е. f — линейный функционал над V. Надо ли говорить, что между u и (u,·) есть однозначное соответствие.С точки зрения семантики, во втором случае скалярное произведение как бе включается в понятие ковектора. В первом случае, оно не включается, но имеется ввиду, что скалярное произведение есть. По факту, никакой разницы в этих определениях не наблюдается. Иногда удобнее один способ зрения, иногда — другой.
>>346961 (OP)Используй векторы в трёхмерной системе координат, раз тебе 2D наебалово. Только в большинстве школьных задач по физике это как телеге пятое колесо, ибо третья координата будет нулевой. Но ты можешь сам себе придумывать.
